分布列数学期望（分布列数学期望视频）

## 分布列数学期望### 简介在概率论和统计学中，数学期望（或简称期望）是随机变量取值与其概率的乘积之和。它反映了随机变量平均取值的大小，是随机分布的重要特征值之一。对于离散型随机变量，我们可以通过其分布列来计算数学期望。### 一、离散型随机变量的分布列离散型随机变量是指只能取有限个值或可数个值的随机变量。描述离散型随机变量的概率分布可以用分布列。

1. 定义:

设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, ..., 发生的概率分别为 $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$, ..., 则称下表为随机变量 X 的概率分布列，简称分布列：| X | $x_1$ | $x_2$ | ... | $x_n$ | ... | | :---: | :----: | :----: | :-: | :----: | :-: | | P | $p_1$ | $p_2$ | ... | $p_n$ | ... |

2. 性质:

$p_i ≥ 0$, (i = 1, 2, ..., n, ...)

$p_1 + p_2 + ... + p_n + ... = 1$### 二、分布列数学期望的定义

定义:

设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, ..., 发生的概率分别为 $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$, ..., 则随机变量 X 的数学期望为:

E(X) =

$x_1p_1$ + $x_2p_2$ + ... + $x_np_n$ + ... = $\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$

注意:

数学期望的存在性: 当级数 $\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$ 绝对收敛时，我们说数学期望存在，否则称数学期望不存在.

数学期望的意义: 数学期望描述了随机变量取值的平均水平，它并不一定等于随机变量的某个具体取值。### 三、分布列数学期望的性质

常数的期望等于自身:

对于任意常数 c，有 E(c) = c.

线性性质:

对于任意常数 a，b 和随机变量 X，Y，有 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y).

如果 X ≤ Y，则 E(X) ≤ E(Y).

### 四、 例题讲解

例题：

假设你参加一个游戏，游戏规则如下：掷一个均匀的骰子，如果掷出的点数是 6，你将获得 10 元奖励；如果掷出的点数是 4 或 5，你将获得 5 元奖励；其他情况下，你将不会获得任何奖励。求你玩一次这个游戏的预期收益。

解题步骤：

1.

确定随机变量：

设随机变量 X 表示你玩一次游戏的收益。 2.

列出分布列：

| X | 0 | 5 | 10 || :---: | :-: | :-: | :-: || P | 1/2 | 1/3 | 1/6 |3.

计算数学期望：

E(X) = 0 × (1/2) + 5 × (1/3) + 10 × (1/6) = 5/3 ≈ 1.67 元

结论：

你玩一次这个游戏的预期收益约为 1.67 元。### 五、总结分布列数学期望是概率论中一个重要的概念，它可以帮助我们理解随机变量的平均取值。通过学习本文，相信你已经掌握了如何计算离散型随机变量的分布列数学期望，以及它的基本性质和应用。

分布列数学期望

简介在概率论和统计学中，数学期望（或简称期望）是随机变量取值与其概率的乘积之和。它反映了随机变量平均取值的大小，是随机分布的重要特征值之一。对于离散型随机变量，我们可以通过其分布列来计算数学期望。

一、离散型随机变量的分布列离散型随机变量是指只能取有限个值或可数个值的随机变量。描述离散型随机变量的概率分布可以用分布列。**1. 定义:** 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, ..., 发生的概率分别为 $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$, ..., 则称下表为随机变量 X 的概率分布列，简称分布列：| X | $x_1$ | $x_2$ | ... | $x_n$ | ... | | :---: | :----: | :----: | :-: | :----: | :-: | | P | $p_1$ | $p_2$ | ... | $p_n$ | ... |**2. 性质:*** $p_i ≥ 0$, (i = 1, 2, ..., n, ...) * $p_1 + p_2 + ... + p_n + ... = 1$

二、分布列数学期望的定义**定义:** 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, ..., 发生的概率分别为 $p_1$, $p_2$, ..., $p_n$, ..., 则随机变量 X 的数学期望为:**E(X) =** $x_1p_1$ + $x_2p_2$ + ... + $x_np_n$ + ... = $\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$**注意:** * 数学期望的存在性: 当级数 $\sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i$ 绝对收敛时，我们说数学期望存在，否则称数学期望不存在. * 数学期望的意义: 数学期望描述了随机变量取值的平均水平，它并不一定等于随机变量的某个具体取值。

三、分布列数学期望的性质* **常数的期望等于自身:** 对于任意常数 c，有 E(c) = c. * **线性性质:** 对于任意常数 a，b 和随机变量 X，Y，有 E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y). * **如果 X ≤ Y，则 E(X) ≤ E(Y).**

四、 例题讲解**例题：**假设你参加一个游戏，游戏规则如下：掷一个均匀的骰子，如果掷出的点数是 6，你将获得 10 元奖励；如果掷出的点数是 4 或 5，你将获得 5 元奖励；其他情况下，你将不会获得任何奖励。求你玩一次这个游戏的预期收益。**解题步骤：**1. **确定随机变量：** 设随机变量 X 表示你玩一次游戏的收益。 2. **列出分布列：**| X | 0 | 5 | 10 || :---: | :-: | :-: | :-: || P | 1/2 | 1/3 | 1/6 |3. **计算数学期望：**E(X) = 0 × (1/2) + 5 × (1/3) + 10 × (1/6) = 5/3 ≈ 1.67 元**结论：** 你玩一次这个游戏的预期收益约为 1.67 元。

五、总结分布列数学期望是概率论中一个重要的概念，它可以帮助我们理解随机变量的平均取值。通过学习本文，相信你已经掌握了如何计算离散型随机变量的分布列数学期望，以及它的基本性质和应用。